2026 年 10 月 16–23 日 · 几何分析与 AI 数学科研
本期新增 8 条台账：7 条数学、1 条数学与 AI 交叉条目。既有条目发生 1 项状态变化：两点法内估计由“待核验”改为“预印本进展”，原因是上期用于质疑常数依赖的二次函数并不满足定理的零 Dirichlet 边界条件。本页明确纠正，旧周报作为当时快照保留。
检索从 10 月 15 日重叠开始。对优先条目核到主定理、维数与解类、关键方法接口；没有逐篇审完证明。预印本中的“解决猜想”仍按作者声明与待独立审查分开记录。
重要更正（Correction）
两点最大值法：撤回上期的“各向异性二次函数反例”警示
Hung–Liu–Trudinger 的稿件在 10 月 21 日更新为 v2。重新核对 Theorem 1.1 后，Monge–Ampère 部分要求
[ B_1\subset\Omega\subset B_n,\qquad \det D^2u=f>0,\qquad u=0\ \text{on }\partial\Omega, ]
并在这一归一化 Dirichlet 框架内使用 (2.11)。上期考虑的
[ u_A(x)=\frac12\left(Ax_1^2+A^{-1/(n-1)} \sum_{i=2}^n x_i^2\right) ]
虽满足 (\det D^2u_A=1)，却不满足固定单位球上的零边界条件；若改取其水平椭球作边界，随 (A) 增长又失去统一的 (B_1\subset\Omega\subset B_n) 归一化。因此它不能反驳 Theorem 1.1 或 (2.11) 在完整假设下的使用。
这次更正仅说明此前编辑测试无效，不等于已经逐行认证整篇证明。当前条目改为“预印本进展”，下一步仍是核对 (2.11) 到主定理的常数传递。
最贴近现有背景（Closest to the research profile）
1. k-Hessian 特征函数：从 (C^{1,1}) 到边界光滑
Qiu–Yan 的 10 月 22 日新稿处理光滑一致凸域上的
[ \sigma_k(D^2u)=\lambda(-u)^k,\qquad u|_{\partial\Omega}=0,\qquad D^2u\in\Gamma_k, ]
其中 (2\le k<n)。Theorem 1.1 从已有的 (C^{1,1}(\bar\Omega)) 正则性出发，给出 Newton 张量的正下界并推出 (u\in C^\infty(\bar\Omega))。值得注意的是只假设 (k)-容许，并不预设解凸。
方法链是边界 blow-up、半空间极限分类、Hessian 收敛与一致椭圆化，再进入边界高阶估计。尚未独立审计半空间分类和所有高阶推进步骤。
2. 非凸全非线性曲率流：外部 non-collapsing
Sheng–Zhu 于 10 月 21 日提出“有限平移逆凹”条件 (S_b)。对光滑紧致嵌入的 (\Gamma)-容许流
[ \partial_tX=-F(A)\nu, ]
若 (F) 正、一齐次、严格椭圆并满足 (S_b)，且初始 (\lambda_{\min}+aF\ge0)（(0<a<b)），则外部球曲率界 (k\ge-aF) 在光滑存在区间保持。
论文还给出显式速度
[ F_\varepsilon(A)=\operatorname{tr}A- \varepsilon\frac{|A^\circ|^2}{\operatorname{tr}A}, ]
它在适当锥上允许负主曲率。结论没有延伸到手术、弱流或长期收敛；本期也未逐行复算显式参数范围。
3. k-Hessian 孤立奇点：分类、端点对数修正与可去性
Ma–Zang 的 10 月 21 日新稿研究非正 (k)-容许解。对 (1\le k<n/2) 的
[ F_k[u]=(-u)^p,\qquad 1<p\le\frac{nk}{n-2k}, ]
论文在相应区间给出基本解型渐近、可去性判据，并在端点出现精确对数修正；临界维数 (k=n/2) 则处理一类带梯度增长的源项。
这里不能外推到任意超临界指数或 (k>n/2)。方法中的 Hessian 测度、Wolff 势、Bôcher 型分类与 BV 球面极值值得精读。
4. 线性化 Monge–Ampère：外在几何 Harnack
Rakshit–Wu 的 10 月 16 日稿把凸函数梯度图的 Hessian 度量用于 Harnack 不等式。它以外在球上的 Moser 迭代和几何 Sobolev/Poincaré 代替经典 Monge–Ampère 截面覆盖技术。
范围提醒：Harnack 常数依赖梯度图的体积、直径、平均曲率及其梯度等量。“不用截面理论”并不等于不需要额外几何控制；这些量能否仅由标准 Monge–Ampère 数据统一控制，是下一步最关键的问题。
可迁移的相邻进展（Transferable adjacent developments）
奇 Yamabe：有限奇集上的完整度量构造声明
Chen–Ma 的 10 月 22 日预印本声明：若闭连通 (n)-流形（(n\ge3)）的 Yamabe 常数为正，则对任意至少两点的有限集合 (\Lambda)，可在 (M\setminus\Lambda) 上构造完备、标量曲率 (n(n-1)) 的共形度量。作者称其完成 Schoen 的相关存在猜想。
本条记为“待核验”，因为本期只核到主定理与拼接路线，没有独立审计增广逆、线性核和有限维约化；也要避免与其他同名 Schoen 猜想混淆。
自由边界极小超曲面：index one 的 half-catenoid 刚性
Junzhang Li 的 10 月 20 日稿在环境维数 (N=n+1\ge4) 下证明：完备、连通、双侧、嵌入、有限总曲率且 Neumann Morse index 为 1 的半空间自由边界极小超曲面是高维 half-catenoid，并给出 quarter-space 对应结论。
反射双倍化、无穷远端、平移 Jacobi 场与相对调和形式组成可迁移的谱论工具链；有限总曲率和 index one 不能省略。
平面 Minkowski 正则化：等周轮廓的单调演化
Fattah–Ftouhi–Saracco 的 10 月 21 日稿研究保体积平行体正则化，得到平面凸体完整等周轮廓的单调性、显式重参数化、向圆盘轮廓的一致收敛和非局部 Hamilton–Jacobi 表述。
二维等周集合结构在证明中起实质作用，不能直接宣传为高维结论，也不应把该非局部演化与通常的局部曲率流混同。
AI 与数学科研（AI and mathematical research）
KLS：把“证明”“公司叙述”“形式化代码”分成三层证据
KLS 猜想要求各向同性 log-concave 概率测度的 Poincaré 常数具有维数无关上界。10 月初出现三份相关证明稿：
- Song–Zhang 的长稿给出维数无关界，核心是高阶多项式方差、曲率/Poincaré 比较与迭代改进；
- Bizeul–Klartag–Lehec 给较短证明，并使用 Song–Zhang 的关键判据；
- Balasubramanian–Kasiviswanathan 给出声称 (C_P\le25) 的确定性变分路线。
10 月 21 日，Microsoft Research 公开人主导的 agentic 过程：多个 agent 生成约百条候选路线，由研究者筛选、拼接与验证；官方还报告相近 token 预算的无引导尝试失败。公开的 KLS500 仓库声明用 Lean 4 形式化一个维数无关的 500 界。
本期把该条目标为“待核验”，理由是多份预印本、官方过程说明与 Lean 仓库构成更强的证据链，但并非本次已经独立验证。仓库只核对 README、5 次提交与公开结构；没有本地构建、依赖/公理审计，且未见 Actions 构建记录。
Song–Zhang v2 · 短证明 · 显式常数稿 v2 · Microsoft 官方说明 · KLS500 · 台账
OpenAI、Anthropic、Google DeepMind
本次按 10 月 15–23 日重叠区间复查官方研究、产品与数学相关发布，没有发现与本台账直接相关、足以新增条目的重大更新。不使用弱相关产品新闻凑数；既有 OpenAI 数学仓库、Anthropic 数学案例与 Gemini 4 Argon 条目保留原状态。
既有问题状态复查（Status review）
| 条目 | 本次结果 | 当前状态 |
|---|---|---|
| 两点法内估计 | 撤回不满足零边界条件的二次函数测试；v2 重核完整定理假设 | 待核验 → 预印本进展 |
| 含梯度右端的 Hessian 商 | 新 k-Hessian 特征函数结果是特定特征值右端，未替换原问题的结构条件 | 待核验 |
| MCF 定量稳定性 | 新 non-collapsing 结果控制切球，不给扰动后的长期吸引率 | 原文待解 |
| Cartan–Hadamard／高余维推广 | 本期曲率流稿仍是 Euclidean 超曲面框架 | 原文待解 |
| log-Brunn–Minkowski | KLS 是 log-concave 测度谱隙进展，不等于 log-BM 的独立复核或关闭 | 待核验 |
| 稳定 Allen–Cahn／自由边界版本 | 未确认本周有改变其精确维数与假设范围的新解、反例或撤稿 | 原状态保留 |
核查范围与待续项（Review depth and limitations）
本期由 gauss 的数学结构检查重点校准了：定理的解类别、归一化与边界条件必须共同引用；曲率流的光滑期结论不得外推为弱流；共形拼接的“完成猜想”要保留线性核和有限维约化的审查接口；谱隙的多份证明与 Lean 代码仍需独立构建。
未完成的旧任务继续保留：2610.08442 的正文尚未稳定取得；2610.08270 已复核 v1 书目与摘要，但正文完整复查未完成；JAMS 自由边界论文的期刊全文仍未取得。由于这些待续项仍在，本次推进扫描日期时没有把它们标成“已复核”。
核查日期：2026-10-23。 本页为本期快照；后续修订、撤稿和纠正写入台账的日期历史，不回写为“当时已经知道”。