上一期：2026 年 10 月 16–23 日 · 返回 Research 台账

本期检索覆盖 2026-10-22 至 2026-10-30（与上次成功扫描重叠一天）。台账新增 8 条，更新 1 条；未发现足以改变既有开放问题状态的新证据。以下区分预印本、公司公告、形式化代码与独立验证，不把“发布证明声明”等同于问题已经解决。

一、与现有研究背景最接近的进展

1. 双曲空间曲率商流与 Alexandrov–Fenchel 不等式

Luo、Wei、Ruijia Zhang 与 Zhou 的预印本研究双曲空间 H^(n+1) 中曲率速度 F = (E_k/E_l)^(1/(k-l)) 驱动的流。 对 1 ≤ l < k ≤ n − 1、k + l ≤ n，光滑闭、严格凸且具有正内蕴截面曲率的初始超曲面保持该曲率条件，流全局存在并指数收敛到测地球面，同时保持 W_l。相应地，作者得到 0 ≤ l < k ≤ n、k + l ≤ n 范围内、边界内蕴截面曲率非负的双曲 Alexandrov–Fenchel 型不等式，等号仅为球。

最重要的技术链条是：曲率商的配对凹性、正内蕴截面曲率保持、用三维截面与 John 椭球控制内半径、Tso 型曲率估计，以及极限的刚性识别。论文对 k + l > n 给出的反例说明这类流的曲率保持范围是尖锐的；这不能自动解释为相应不等式在该范围内失败。对网页主人的 Hessian、曲率流和 Minkowski 背景而言，这是本周关联最直接的论文。

来源：arXiv:2610.35707（预印本，尚未按正式期刊论文标准完成独立逐行核验）。

2. k-Hessian 方程的单侧增长 Liouville 定理

Hu 与 Jiao 证明：对 2 ≤ k ≤ n，满足 σ_k(D²u) = 1 的整解，如果具有单侧二次下增长 u(x) ≥ b|x|² − B，则必须是二次多项式；论文同时处理光滑解和适当可容许的粘性解。核心贡献是尺度不变的内点二阶估计，把单侧增长转化为刚性，而不要求传统的双侧二次控制。

这为“由局部 Hessian 估计推出全局分类”的路线提供了更弱的无穷远假设，也提示可以进一步研究非恒定右端、商型 Hessian 算子以及双曲/球面背景上的对应刚性。

来源：arXiv:2610.35565。

3. 二阶 Hessian 方程的低正则性提升

Lyu 研究 σ₂(D²u) = f 的 C^(1,α) 与 W^(2,1+ε) 估计。论文表明，局部 W^(2,1+ε) 控制可以推出定量内点 C^(1,ε/(n+ε)) 正则性；在 0 < λ ≤ f ≤ Λ、严格平均凸的 C^(2,β) 区域和合适边界数据下，还得到全局 W^(2,1+ε) 与 C^(1,α) 先验估计。

需要保留两个边界：主要结论是先验估计，光滑层面的陈述不能不加说明地推广到任意粘性解；而且“由积分控制到梯度 Hölder 正则”的指数未必已经最优。

来源：arXiv:2610.35839。

4. 退化/奇异 Monge–Ampère 边界正则性的统一指标

Cui、Jian、Li 与 Liu 考察 det D²u = g(x)d(x)^(−α)|u|^(−β)(1+|Du|²)^(γ/2)、u|∂Ω = 0， 并按 α + β 的不同区间给出边界正则性图景：从 C^(2,q)、C^(1,η) 和 W^(2,p)，到临界情形的近 Lipschitz 行为，再到超临界情形的精确 Hölder 指数与梯度爆破。其价值不只是一组估计，而是把距离奇性、解本身的奇性和梯度增长放在同一个缩放框架中。

后续值得核查的是临界端点是否存在更精细的 Lorentz/Orlicz 控制，以及在右端仅有弱正则性或边界非一致凸时，哪些指数仍然稳定。

来源：arXiv:2610.35192（本周已更新至 v2）。

二、相邻方向的重要进展

5. Stefan 问题奇异集的泛型降维

Colombo 与 Figalli 对抛物型障碍/Stefan 问题证明：在自然 C⁰ 拓扑的剩余集意义下，最高维奇异层在时空中是离散的；整个奇异集可数抛物 (n−2)-可整，并具有至多 n−2 的抛物维数。这里“泛型”是 Baire 范畴结论，不是对每个解的统一结论，也不是概率意义的随机陈述。

这项工作把自由边界的频率函数、层析结构和泛型扰动结合起来，与极小曲面、Allen–Cahn 极限以及奇异集稳定性的技术有明显桥接价值。

来源：arXiv:2610.35780。

6. Brenier 映射的尖锐稳定性与 Poincaré 常数

Letrouit 与 Manole 对 κ-一致对数凹参考测度建立了尖锐估计，把两个 Brenier 势之差的方差由目标测度间的 W₂ 距离控制。论文强调这种输运映射稳定性可以严格强于仅依赖 Poincaré 常数的估计，并给出 Poincaré 常数有限但相应映射稳定常数无穷的例子；对有界凸支撑还得到定量稳定性。

其方法把 Monge–Ampère 线性化、加权谱隙与最优输运稳定性直接联系起来，适合作为 Hessian PDE 与谱方法的交叉入口。

来源：arXiv:2610.37659。

三、数学 AI、形式化与科研工作流

7. Boundary Plateau Laws：LLM 参与的几何测度论分类

De Lellis 与 Glaudo 的两篇配套预印本分类了 R³ 中包含给定直线、并相对该直线 Almgren 极小的二维锥。第二篇给出完整候选族：半平面、夹角满足条件的双半平面、三个 120° 半平面，以及特定位置的四面体骨架，并证明相应逆命题。

两篇论文的披露值得单独记录：第一篇来自约三年的传统研究与计算工作；临近发布时，LLM 找到一个 medial-axis 竞争构形，排除了此前剩余的候选；作者随后引导 LLM 在数小时内形成更短的第二篇论证。这里可以确认的是作者的明确披露与预印本中的数学声明，不能据此跳过同行评议或把 AI 的贡献比例视为已经独立审计。

来源：Part I, arXiv:2610.37559；Part II, arXiv:2610.37560。

8. OpenAI 数学研究发布：新增声明与 Lean 快照

OpenAI 10 月 26 日公布了新的数学研究材料，包括局部平滑与相关 Kakeya/Restriction 推论等声明，并把这些稿件明确定位为供学界核验的“原始研究数据”。其公开仓库当前列出 721 份稿件、373 个问题族，约 42% 的最高层声明已有形式化；10 月 26 日加入了两份稿件及 Lean 内容，10 月 29 日又修正了 Hodge Comparator 的命名空间问题。

台账因此更新“OpenAI 数学发布”条目，但状态保持为“已发布”，没有把具体数学问题改标为已解决。本次核对了官方说明、固定 commit 下的目录和 family079 的 Lean 文档；未在本地重新构建全部 Lean/Comparator 项目，也未完成对新证明的独立数学审稿。

来源：OpenAI 官方说明；openai/math。

9. Anthropic 的大规模 Rocq 形式化验证实验

Anthropic 10 月 22 日报告了一个面向开源库的端到端形式化验证实验：覆盖 123 个库、239 个入口点，生成约 1.8 亿行 Rocq 证明，并在公开子集中展示可复核材料。实验还报告，共享工作区在 36 个任务上减少约 17% 的 token 使用。

这类规模数据不能解释为“软件已经无漏洞”：结论受规格、RISC-V/Linux/musl 语义、固定内存和输入上限等假设约束，且可信计算基仍需审查。对数学科研 agent 而言，更可迁移的启示是：共享中间状态、机器检查、失败轨迹保留和对可信边界的明确书写，比单次自然语言答案更关键。

来源：Anthropic 官方研究说明。

本期没有在 Google DeepMind、Microsoft Research 的官方渠道中发现同一时间窗内、与本台账范围足够相关且达到收录门槛的新发布；未用弱相关产品新闻补足数量。

四、既有问题状态复查

五、核查边界与待复查事项

• 本期逐项核对了上述预印本的摘要、主定理条件和关键证明结构，但没有完成所有论文的逐行复核。
• 对 OpenAI 与 Anthropic 的数字只采用其官方页面和固定仓库快照；没有把公司披露当作独立验证。
• OpenAI 的 Lean 项目和 Comparator、本期论文可能附带的全部代码均未在本地完整构建。
• 旧台账中的 Liu（arXiv:2610.08442）、Pu（arXiv:2610.08270）与 Chan 等人的期刊版本仍保留为待复查：本期重新核对了元数据或摘要，但没有获得足以关闭其证据缺口的完整正文审计。
• 本次扫描成功推进至 2026-10-30；下一期应从 2026-10-29 起重叠检索，避免版本更新落在边界上。